高数重点总结
创始人
2025-05-31 23:47:07

高数

公式不要去死记 配合训练题在训练中记忆

完成一下这些题目

高中函数图像回忆

与其记忆各种公式不如去思考他们的本质
这和调用c++动态库可不一样 考试的时候你相当于在使用汇编答题

1 定义域（x）

性质

  • 1/x(x=!0)
  • √x(x>0 || x=0)
  • log a x (x>0)

有界

f(x)=sinx 1/x,[-1,1]

2 奇偶性

  • 偶 f(-x)=f(x)
  • 奇 f(-x)=-f(x)
  • 例题
  • f(x)=ln[x+√ (x^2+1)] 判断奇 偶
    • 解 :f(-x)=ln[√(x^2 +1) -x] -->分子有理化 (x2+1)-x2 / √(x^2+1) + x
      =ln 1 / √(x^2+1) + x ----> ln x ^-1 = -ln x
      =…奇
  • 例二
    • y=f(x)+f(-x) 偶
    • y=f(x)-f(-x) 奇
  • 例三
    • sin tan cot 奇
    • cos 偶
  • #define 奇 0
  • #define 偶 1
    • 0+0=0 1+1=1 1+0 啥也不是
    • 0×0=1 1×1=1 0×1=0
  • ∫a -a f(x)dx
    • f(x)奇 =0
    • 偶 =2倍本身

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

1 简单的三个三角函数图像以及性质

三角函数性质

id象限
sin+ + - -
con+ - - +
tan+ - + -
cot=1/tan+ - + -
sec=1/cos+ - - +
csc=1/sin+ + - -

两角和差

sin(A+B)= sinA cosB + cosA sinB
cos(A+B)=cosAcosB +sinAsinB
tan(A+B)=(tanA-tanB)/(1-tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

倍角公式

二倍

tan2A =2tanA/(1-tan^2 A)

sin2A =sin2sinAcosA

cos2A =cos^2 A - sin^2 A

必备三角函数求导公式

正弦函数 (sinx)‘=cosx
余弦函数：(cosx)’=-sinx
正切 (tanx)‘=sec2x
余切 (cscx)’=cotx*cscx

极限

在这里插入图片描述

重要极限

在这里插入图片描述

等价无穷小转换（无理由直接转）

常用转换x
sin x~x
tan x~x
arcsin x~x
arctan x~x
ln(1+x)~x
(1+bx)^a -1~ abx
1-cosx ~ (x^2)/2
tanx -sinx~(x^3)/2
e^x -1 ~x

高阶无穷小

连续性

在这里插入图片描述

零点 根存在原理

在这里插入图片描述

连续

在这里插入图片描述

细节性质

驻点 ：函数的一阶导数为零

极值点：极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。 极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）

可导 -> 极值点一定是驻点

拐点 左右凹凸性变化点

渐进线

在这里插入图片描述

泰勒公式
例题

训练

答案：

-1/2x^2 这一步会出现四次 直接放在最后归于0 o(x)

积分
来一个简单的公式玩一玩

导数 and 微分
##全微分
例1 复合

例2 抽象复合

练习1

例2 多元隐函数

操作

固定公式

同理 阿尔法y替换掉x算出第二个

第三个 d z （这是全微分）
（0，0）表示x=0，y=0
z^3=1
z=1
第一个加第二个

细节
f(x)=f(x)’
f(1)!=f(1)’ 所以这种情况全加‘’‘’‘’‘’‘’导数符号
##二重积分
####概念 性质 计算

导数

原函数导
( c)'=0
(x^n)’ = nx^n-1
(sin x)'=cosx
(cos x)'=-sinx
(tan x)'=sec^2 x
(cot x)‘’=-csc^2 x
(sec x)'= sec x tan x
(csc x)'= - csc x cot x
(a^x)’ = a^x lna
(log a x)'=1/ x lna

(arcsin x)’ =1/ √ (1-x^2)
(arccos x)‘= -1/ √ (1-x^2)
(arctan x)’ = 1/(1+x^2)
(arccot x)'= -1/(1+x^2)

积分

----|-------
∫kdx=kx+C

词库加载错误:未能找到文件“E:\highferrum_mysql\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。

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